Géométrie Vectorielle

Nous étudions dans ce chapitre des points et des vecteurs de l'espace à 3 dimensions.

Dans l'espace, des nouvelles propriétés apparaîssent. L'espace contient des plans, des droites, des vecteurs et des points. Des points et des vecteurs peuvent être coplanaires, des droites peuvent être non sécantes et non parallèles à la fois.

Nous verrons qu'il existe un système de repérage à 3 coordonnées très similaire à celui du plan. Il ajoute aux abscisses $x$ et aux ordonnées $y$ la cote (ou hauteur) $z$. Pour un point $M$ et un vecteur $\vec{u}$, on adoptera sans surprise les notations suivantes : $$ M (x_M, y_M, z_M) \text{ et } \vec{u} =\left ( \begin{array}{c} x \\ y \\ z \end{array} \right) $$ Les notions connues dans le plan seront conservées : sommes de vecteurs, produits par un réel, vecteur de deux points, colinéarité, Chasles, etc. Mais de nouvelles propriétés aparaîtront.

Deux vecteurs non nuls $\vec{AB}$ et $\vec{CD}$ sont colinéaires si les droites $ (AB) $ et $ (CD) $ sont parallèles Deux vecteurs $\vec{u}$ et $\vec{v}$ sont colinéaires si et seulement si il existe un réel $k$ tel que $\vec{u} = k \vec{v}$ En conséquence : Trois points $A$, $B$ et $C$ sont alignés si et seulement si il existe un réel $k$ tel que $\vec{AC} = k \vec{AB}$ En faisant varier le réel $k$, on voit qu'on dessine l'ensemble des vecteurs directeurs de la droite $ (AB) $. C'est l'idée exprimée par le théorème suivant :
Soient $A$ et $B$ deux points de l'espace. La droite $ (AB) $ est l'ensemble des points $M$ tels que : $$ \vec{AM} = t \vec{AB} $$ où $t$ est un réel quelconque.
Dans l'espace, n'importe quel plan peut être muni de son propre repère à partir de trois points $O,I,J$ non alignés : Soient $A$, $B$ et $C$ trois points non alignés. Le plan $(ABC)$ est l'ensemble des points $M$ tels que : $$ \vec{AM} = x \vec{AB} + y \vec{AC} $$ où $x$ et $y$ sont des réels quelconques. en travaux... On dire que trois vecteurs $\vec{u}$, $\vec{v}$ et $\vec{w}$ sont coplanaires si il existe quatre points $O$, $A$, $B$ et $C$ tels que : $$ \vec{u} = \vec{OA} \\ \vec{v} = \vec{OB} \\ \vec{w} = \vec{OC} \\ $$ Si les vecteurs sont colinéaires, ils sont coplainaires. En utilisant le théorème précédent sur les points $A$, $B$ et $C$ de la définition, on peut exprimer la coplanarité de la manière suivante : vecteurs $\vec{u}$, $\vec{v}$ et $\vec{w}$ sont coplanaires si et seulement si il existe deux réels $a,b$ tels que : $$ \vec{w} = a \vec{u}+b\vec{w} $$ en travaux... Le théorème du toit est une conséquence directe de la coplanarité : Soient $\mathcal{P}_1$ et $\mathcal{P}_2$ deux plans d'intersection contenant respectivement $d_1$ et $d_2$ parallèles. Si $\mathcal{P}_1 \cap \mathcal{P}_2 = \Delta$,alors $\Delta$ est parallèle à $d_1$ et $d_2$. en travaux...
En géométrie, la notion de de répère vient après les notions élémentaires de points, droites, vecteurs, etc. Même si elle est intuitive, ce n'est pas un postulat de départ. Il est donc nécessaire de justifier par une preuve son existence. Dans l'espace, on appelle repère $(O,\vec{u}, \vec{v}, \vec{w})$, la donnée d\'un point $O$ appelé origine et d'un triplet de vecteurs $(\vec{u}, \vec{v}, \vec{w})$ non coplanaires appelés base de vecteurs. Soit $(O,\vec{u}, \vec{v}, \vec{w})$ un repère de l'espace. Pour tout point $M$ de cet espace, il existe un unique triplet $(x,y,z)$ tel que : $$ \vec{OM} = x \vec{i} +y \vec{j} +z \vec{k} $$ Ce sont les coordonnées de $M$. $x$ est l'abscisse, $y$ l'ordonnée et $z$ la cote (ou hauteur). On note $M (x_M, y_M, z_M)$ les coordonnées du point $M$ dans le repère ci-avant. en travaux... On peut donc aussi parler de coordonnées de vecteurs : Soit $(O,\vec{u}, \vec{v}, \vec{w})$ un repère de l'espace. Pour tout vecteur $\vec{u}$ on choisit le point $M (x,y,z)$ tel que $\vec{OM} = \vec{u}$. On peut écrire de manière unique : $$ \vec{u} = x \vec{i} +y \vec{j} +z \vec{k} $$ Ce sont les coordonnées de $\vec{u}$. On note $\vec{u} =\left ( \begin{array}{c} x \\ y \\ z \end{array} \right)$ les coordonnées du vecteur $\vec{u}$ dans le repère ci-avant.
  • Attention, si on choisit $(\vec{u}, \vec{v}, \vec{w})$ un triplet de vecteurs non coplanaires différent, alors les coordonnées ne restent pas les mêmes.
  • Les coordonnées $(x,y,z)$ d\'un vecteur sont données par rapport à la base $(\vec{u}, \vec{v}, \vec{w})$.
Les formules connues dans le plan sont analogues dans l'espace. Nous les rappelons ci-dessous :

On se place dans un repère $(O,\vec{i}, \vec{j}, \vec{k})$.

Soient $\vec{u} =\left ( \begin{array}{c} x \\ y \\ z \end{array} \right)$ et $\vec{v} =\left ( \begin{array}{c} x' \\ y' \\ z' \end{array} \right)$ deux vecteurs :
  • $\vec{u} + \vec{v} =\left ( \begin{array}{c} x+x' \\ y+y' \\ z+z' \end{array} \right)$
  • $k \vec{u} =\left ( \begin{array}{c} k x \\ k y \\ k z \end{array} \right)$ où $k \in \mathbb{R}$
  • La norme $||\vec{u}|| = \sqrt{x^2 + y^2 + z^2}$ quand le repère est orthonormé

Soient $A (x_A,y_A,z_A)$ et $B (x_B,y_B,z_B)$ deux points :

  • $\vec{AB} =\left ( \begin{array}{c} x_B - x_A \\ y_B - y_A \\ z_B - z_A \end{array} \right)$
  • Le milieu de $[AB]$, $I (\frac{x_A+x_B}{2},\frac{y_A+y_B}{2},\frac{z_A+z_B}{2})$
  • La norme $||\vec{AB}|| = \sqrt{(x_B-x_A)^2 + (y_B-y_A)^2 + (z_B-z_A)^2}$ quand le repère est orthonormé

De la même manière qu'une droite peut être représentée par une fonction affine dans le plan, il existe une représentation dans l'espace. C'est la représentation paramétrique : elle s'obtient en traduisant par des coordonnées la caractérisation de la droite $(AB)$ par la colinéarité $\vec{AM} = t \vec{AB}$ (voir plus haut .)

La droite $d$ passant par $A (x_A, y_A, z_A)$ et dirigée par le vecteur $\vec{u}=\left ( \begin{array}{c} a \\ b \\ c \end{array} \right) $ est l'ensemble des points $M (x,y,z)$ tels que : $$ \left\{ \begin{array}{c} x=x_A + at \\ y=y_A + b t \\ z=z_A + c t\end{array} \right. \ \ \ \ \ t\in\mathbb{R} $$

Exercice corrigé

La représentation paramétrique nous permet de vérifier l'appartenance d'un point à une droite :

La droite $d$ passant par $A (1, 0, -2)$ et dirigée par le vecteur $\vec{u}=\left ( \begin{array}{c} 1 \\ 2 \\ -1 \end{array} \right) $.

On aimerait savoir si les points $B (1,0,2)$ et $C (4,6,-5)$ appartient à la droite $d$.

On écrit l'équation paramétrique de $d$ : $$ (d) : \left\{ \begin{array}{c} x=1 + t \\ y= 2 t \\ z=-2 - t\end{array} \right. \ \ \ \ \ t\in\mathbb{R} $$ Pour déterminer si $B\in (d)$, on résoud le système d'inconnue $t$ : $$ \begin{array}{l} \left\{ \begin{array}{c} x_B=1 + t \\ y_B = 2 t \\ z_B =-2 - t\end{array} \right. & \Rightarrow & \left\{ \begin{array}{c} 1=1 + t \\ 0 = 2 t \\ 2 =-2 - t\end{array} \right. & \Rightarrow & \left\{ \begin{array}{c} t=0 \\ t = 0 \\ t =-4\end{array} \right. \end{array} $$ Impossible, donc $B$ n'appartient pas à $(d)$.

On raisonne de même pour $C$, on résoud le système :

$$ \begin{array}{l} \left\{ \begin{array}{c} x_C=1 + t \\ y_C = 2 t \\ z_C =-2 - t\end{array} \right. & \Rightarrow & \left\{ \begin{array}{c} 4=1 + t \\ 6 = 2 t \\ -5 =-2 - t\end{array} \right. & \Rightarrow & \left\{ \begin{array}{c} t=3 \\ t = 3 \\ t =3\end{array} \right. \end{array} $$ Et donc $C \in (d)$ car $\vec{AC} = 3 \vec{u}$.